加入雜訊的物理意義

1. 量測不確定度（Measurement Uncertainty）

實際物理系統中，角度 θ 與角速度 ω 的量測必然伴隨不確定度——旋轉編碼器（rotary encoder）的解析度有限、類比數位轉換器（ADC）的量化誤差、電磁干擾（EMI）等。訓練階段注入高斯雜訊，等同於模擬真實感測元件的量測不確定度，迫使模型從「含雜訊之觀測量」中萃取動態系統的本質特徵。

2. 初始條件敏感度（混沌特性）

雙擺為典型之混沌系統（chaotic system），狀態空間中微小擾動將以指數方式放大（Lyapunov 指數為正）。注入雜訊可迫使編碼器（encoder）學習對微小擾動具備強健性（robustness）之特徵表示——非記憶精確軌跡，而係捕捉相空間（phase space）中之拓撲結構，如吸引子（attractor）形態與能量流形（energy manifold）。

3. 熱擾動類比（Thermal Fluctuation Analogy）

物理上，雜訊可對應於熱擾動（thermal fluctuation）。室溫條件下之真實擺錘受分子碰撞產生之隨機力作用，注入雜訊訓練等同於令模型學習「有限溫度下之動態行為」，而非僅習得零溫理想軌跡。

4. 正則化效果之物理詮釋

由實驗數據觀之，雜訊訓練模型於乾淨資料之驗證損失（validation loss）約為 0.047（略高於基準模型之 0.044），惟於高雜訊測試條件下之表現遠優於基準模型。此結果反映一重要物理原則：模型被迫學習守恆量（conserved quantities）與對稱性（symmetries），如系統總能量、相空間拓撲不變量等，而非過度擬合（overfitting）於精確之相位資訊。

5. 遮罩與雜訊聯合訓練之優勢

由強健性雷達圖觀之，聯合訓練模型（Both-train）於所有擾動條件下之餘弦相似度（cosine similarity）最為穩定。其物理意涵為：遮罩（masking）迫使模型由部分觀測量推估全域狀態（類似僅量測 θ₁ 即推估 θ₂），雜訊則確保此推估對量測誤差具備強健性。兩者結合，模型所習得之特徵表示最接近系統之內在自由度（intrinsic degrees of freedom），而非觀測座標之表面特徵。

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